Curiosidades matemáticas.

Algoritmo da Multiplicação - Russa 

http://www.youtube.com/watch?v=8rgroT4QkKg 

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA.

A História dos Números Negativos

Os matemáticos chineses da antiguidade tratavam os números como excessos ou faltas. Os chineses realizavam cálculos em tabuleiros, onde representavam os excessos com palitos vermelhos e as faltas com palitos pretos.

Na Índia, os matemáticos também trabalhavam com esses estranhos números. Brahmagupta, matemático nascido no ano 598 d.C., afirmava que os números podem ser entendidos como pertences ou dívidas.

Mas, sem símbolos próprios para que se pudesse realizar as operações, os números absurdos, como eram chamados, não conseguiam se firmar como verdadeiros números..

Depois de várias tentativas frustradas, os matemáticos conseguiram encontrar um símbolo que permitisse operar com esse novo número. Mas como a história da matemática é cheia de surpresas, não poderia de faltar mais uma: Ao observar a prática adotada pelos comerciantes da época, os matemáticos verificaram que se no início do dia, um comerciante tinha em seu armazém duas sacas de feijão de 40 quilogramas cada, se ao findar o dia ele tivesse vendido 7 quilogramas de feijão, para não se esquecer de que naquele saco faltavam 7 quilogramas, ele escrevia o número 7 com um tracinho na frente (-7). Mas se ele resolvesse despejar no outro saco os 3 quilogramas que restavam, escrevia o número 3 com dois “tracinhos” cruzados na frente (+3), para se lembrar que naquele saco havia 3 quilogramas a mais de feijão do que a quantidade inicial.

Os matemáticos aproveitaram-se desse expediente e criaram o número com sinal: Positivo (+) ou Negativo (-).

A Origem das Equações do 1º Grau

“Assim como o Sol empalidece as estrelas com o seu brilho, um homem inteligente eclipsa a glória de outro homem nos concursos populares, resolvendo os problemas que este lhe propõe”.         François Viète

Este texto da Índia antiga fala de um passa tempo muito popular dos matemáticos hindus da época: a solução de quebra-cabeças em competições públicas, em que um competidor propunha problemas para outro resolver.

Era muito difícil a Matemática nesse período. Sem nenhum sinal, sem nenhuma variável, somente alguns poucos sábios eram capazes de resolver os problemas, usando muitos artifícios e trabalhosas construções geométricas.

Hoje, temos a linguagem exata para representar qualquer quebra-cabeça ou problema.

Basta traduzi-los para o idioma da Álgebra: a equação.

Equação é uma maneira de resolver situações nas quais surgem valores desconhecidos quando se tem uma igualdade. A palavra “equação” vem do latim equatione, equacionar, que quer dizer igualar, pesar, igualar em peso. E a origem primeira da palavra “equação” vem do árabe adala, que significa “ser igual a“, de novo a idéia de igualdade. Por serem desconhecidos, esses valores são representados por letras. Por isso na língua portuguesa existe uma expressão muito usada: “o x da questão”. Ela é utilizada quando temos um problema dentro de uma determinada situação. Matematicamente, dizemos que esse x é o valor que não se conhece.

A primeira referencia a equações de que se têm notícias consta do papiro de Rhind, um dos documentos egípcios mais antigos que tratam de matemática, escrito há mais ou menos 4000 anos.

Como os egípcios não utilizavam a notação algébrica, os métodos de solução de uma equação eram complexos e cansativos.

Os gregos resolviam equações através de Geometria.

Mas foram os árabes que, cultivando a Matemática dos gregos, promoveram um acentuado progresso na resolução de equações. Para representar o valor desconhecido em uma situação matemática, ou seja, em uma equação, os árabes chamavam o valor desconhecido em uma situação matemática de “coisa”. Em árabe, a palavra “coisa” era pronunciada como xay. Daí surge o x como tradução simplificada de palavra “coisa” em árabe.

No trabalho dos árabes, destaca-se o de Al-Khowarizmi (século IX), que resolveu e discutiu equações de vários tipos.

Al-Khowarizmi é considerado o matemático árabe de maior expressão do século IX. Ele escreveu dois livros que desempenharam importante papel na história da Matemática. Num deles, Sobre a arte hindu de calcular, Al-Khowarizmi faz uma exposição completa dos numerais hindus. O outro, considerado o seu livro mais importante, Al-jabr wa’l mugãbalah, contém uma exposição clara e sistemática sobre resolução de equações.

As equações ganharam importância a partir do momento em que passaram a ser escritas com símbolos matemáticos e letras. O primeiro a fazer isso foi o francês François Viète, no final do século XVI. Por esse motivo é chamado “pai da Álgebra”.

Viète também foi o primeiro a estudar as propriedades das equações através de expressões gerais como ax + b = 0. Graças a Viète os objetos de estudo da Matemática deixaram de ser somente problemas numéricos sobre preços das coisas, idade das pessoas ou medidas dos lados das figuras, e passaram a englobar também as próprias expressões algébricas.

A partir desse momento, as equações começaram a ser interpretadas como as entendemos atualmente: equação, o idioma da álgebra.

Atualmente as equações são usadas, entre outras coisas, para determinar o lucro de uma firma, para calcular a taxa de uma aplicação financeira, para fazer a previsão do tempo, etc.

E devido a evolução dos estudos das equações, podemos utilizar outras variáveis, letras, para representar o valor desconhecido, ou seja, o que se quer descobrir em uma equação.

Hoje, chamamos o termo desconhecido de incógnita, que é uma palavra originária do latim incognitu, que também quer dizer “coisa desconhecida”. A incógnita é um símbolo que está ocupando o lugar de um elemento desconhecido em uma equação.

A Origem dos Números Naturais

No século VI foram fundados na Síria alguns centros de cultura grega. consistiam numa espécie de clube onde os sócios se reuniam para discutir exclusivamente a arte e a cultura vindas da Grécia.

Ao participar de uma conferência num destes clubes, em 662, o bispo sírio Severus Sebokt, profundamente irritado com o fato de as pessoas elogiarem qualquer coisa vinda dos gregos, explodiu dizendo:

"Existem outros povos que também sabe alguma coisa! Os hindus, por exemplo, Têm valiosos métodos de cálculos. São métodos fantásticos! E imaginem que os cálculos são feitos por meio de apenas nove sinais!".

A referência a nove, e não a dez símbolos, significa que o passo mais importante dado pelos hindus para formar o seu sistema de numeração - a invenção do zero - ainda não tinha chegado ao Ocidente.

A idéia dos hindus de introduzir uma notação para uma posição vazia - um ovo de ganso, redondo - ocorreu na Índia, no fim do século VI. Mas foram necessários muitos séculos para que esse símbolo chegasse à Europa.

Com a introdução do décimo sinal - o zero -, o sistema de numeração tal qual o conhecemos hoje estava completo.

Hoje, estes símbolos são chamados de algarismos indo-arábicos.

Se foram os matemáticos hindus que inventaram o nosso sistema de numeração, o que os árabes têm a ver com isso? E por que os símbolos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 são chamados de algarismos.

A Origem do Grau

Em qualquer livro de matemática encontramos afirmações de que o ângulo reto mede 90º e que o ângulo raso mede 180º. Mas qual é a razão para os valores serem justamente 90 e 180.

Para entendermos isso, retornaremos ao ano de 4000 a.C., quando egípcios e árabes estavam tentando elaborar um calendário. Nessa época, acreditava-se que o Sol girava em torno da Terra numa órbita que levava 360 dias para completar uma volta. Desse modo, a cada dia o Sol percorria uma parcela dessa órbita, ou seja, um arco de circunferência de sua órbita. A esse arco fez-se corresponder um ângulo cujo vértice era o centro da Terra e cujos lados passavam pelas extremidades de tal arco. Assim, esse ângulo passou a ser uma unidade de medida e foi chamado de grau ou ângulo de um grau.

Pode-se concluir, então, que para os antigos egípcios e árabes o grau era a medida do arco que o Sol percorria em torno da Terra durante um dia.

Hoje, sabemos que é a Terra que gira em torno do Sol, mas, contudo, manteve-se a tradição e convencionou-se dizer que o arco de circunferência mede um grau quando corresponde a 1/360 dessa circunferência.

Plano de aula.

Este plano de aula é resultado da atividade proposta no módulo 3 do curso de formação de professores, com objetivo da melhoria da educação do Estado de São Paulo. O plano é resultado de estudos, foi elaborado pelos integrantes do grupo 1 e validado pelo tutor Luis Paulo Martins. 
Pressupõe-se neste momento da aprendizagem que o aluno já saiba resolver equações do primeiro grau, raiz quadrada, fatoração, e divisão na forma de fração, bem como operações com números inteiros. Então, dar se á o novo conteúdo (equação do segundo grau) e uma prévia retomada às áreas de polígonos regulares, que conduzem a uma equação do segundo grau. Utilizando se da conhecida fórmula de Bhaskara.     
                                                  
                                                               Sequência didática     

Série: 9º ano

Tema: Números

Conteúdo: Resolução de problemas em que envolvam equação do 2º grau. 

 

Justificativa: É importante que os alunos tenham contato com a história da matemática e adquira, interesse pela leitura. A equação do 2º grau é um conteúdo muito importante, pois podemos relacionar seu aspecto histórico com o cotidiano dos alunos.

Habilidade: H19-Resolver problemas que envolvam equações do 2º grau (GIII).
 

Objetivos: Aplicar a fórmula de Bhaskara; utilizar a linguagem algébrica para exprimir a área e o perímetro de uma figura plana; capacidade de interpretar enunciados; transpor ideias relacionadas à álgebra para a geometria; generalização e organização de dados a partir de certa propriedade. 

Tempo previsto: 2 semanas 

Recursos: giz; lousa; data show (para apresentar à narrativa) e lista de exercícios.

Procedimentos: Para a introdução desse tema é sugerido à leitura e interpretação do texto (Bhaskara e a “Fórmula de Bhaskara”). Depois, serão sugeridos, inicialmente, problemas que podem ser “traduzidos” por meio de equações de 2º grau, passando-se a discutir alguns modos possíveis de resolvê-las. Antes de introduzir qualquer técnica para a resolução de equação de 2º grau, é importante que os alunos utilizem seus conhecimentos já construídos para encontrar as raízes da equação ou solucionar o problema em questão. Como alguns problemas poderão ficar em aberto, esse é o momento propício para iniciar o trabalho com as técnicas de resolução. Todavia, sugere-se a discussão de diversos procedimentos e métodos para resolver equações de 2º grau, antes do desenvolvimento da fórmula de Bhaskara. 

Material que será utilizado em cada etapa.

Etapa 1: Problematização/Contextualização

Leitura e interpretação:                                                                                              BHASKARA E A “FÓRMULA DE BHASKARA”
Uma das grandes influências da matemática indiana no ocidente é através do matemático Bhaskara de Acharya (ou Bhaskara II, ou Báscara, ou Bhascar), nascido em 1114, cujo nome evoca a solução de equações algébricas do segundo grau, e que foi também um importante astrônomo. Seu tratado de álgebra foi base para a álgebra da Europa alguns séculos depois.
Bhaskara nasceu em uma tradicional família de astrólogos indianos, seguiu a tradição profissional da família, porém com uma orientação científica, dedicando-se mais à parte matemática e astronômica (tais como o cálculo do dia e hora, da ocorrência de eclipses ou das posições e conjunções dos planetas) que dá sustentação à Astrologia.
Seus méritos foram logo reconhecidos e muito cedo atingiu o posto de diretor do Observatório de Ujjain, o maior centro de pesquisas matemáticas e astronômicas da India, na época.
Como matemático, Bhaskara preencheu as lacunas do trabalho de Brahmagupta. É dele a primeira resposta plausível para a divisão por zero. Em seu trabalho “Vija-Ganita” ele afirma que tal quociente é infinito (SOMATEMÁTICA. 2009).
Bhaskara escreveu o tratado Siddhanta Siromani, aos 36 anos, em 1150. O seu manuscrito está dividido em quarto partes – Lilavati (A Bela) sobre aritmética; Bijaganita sobre álgebra, Goladhyaya sobre a esfera, ou seja sobre o globo celeste, e Grahaganita sobre a matemática dos planetas.
Sua obra foi usada em toda a Índia, tendo substituído a maior parte dos textos que eram utilizados até então, como o do astrônomo indiano Lalla (720-790), mas só ultrapassou as fronteiras da Índia no século XVI, quando foi traduzido para o persa por Faizi (1587). Foi este tradutor que introduziu a história de que Lilavati era o nome da filha de Bhaskara. De acordo com uma dessas histórias, citada em Matematica-na-veia (2009), Bhaskara (que também era astrólogo) tinha previsto o dia e a hora propícia para o casamento da sua filha. Para saber a hora exata tinha construído um relógio, colocando um copo com um pequeno orifício, por onde entrava água, numa vasilha cheia de água. Quando chegasse a hora exata do casamento o copo iria se afundar. Entretanto, Lilavati, cheia de curiosidade, inclinou-se sobre a vasilha e uma pérola do seu vestido caiu no copo e bloqueou o orifício. A hora do casamento passou sem que o copo se afundasse. Lilavati nunca se casou. Para consolar a sua filha, Bhaskara prometeu escrever um livro de matemática e homenageá-la dando-lhe o seu nome.
Embora fantasiosa, a história tornou-se lenda contada de maneiras diferentes por vários autores, e serviu para tornar mais famoso o admirável matemático.
Lilavati, escrita em 278 versos, representa a culminação de contribuições hindus anteriores a ela. Apresenta tópicos sobre equações lineares e quadráticas, determinadas e indeterminadas, mensuração, progressões aritméticas e geométricas, radicais, tríadas pitagóricas, entre outras.
Mas, e a fórmula de Bhaskara?
A fórmula de Bhaskara é utilizada para determinar as raízes de uma equação quadrática (de 2º grau). Na literatura internacional não se dá o nome de Bhaskara para esta fórmula; aparentemente, isto se dá apenas no Brasil.
Como precedentes da fórmula de Bhaskara, as referências mais antigas sobre a resolução de problemas do 2º grau foram encontradas em textos babilônicos, escritos há cerca de 4000 anos, em tábuas cuneiformes. Nesses textos, o que se tinha era uma receita, escrita em prosa, sem uso de símbolos matemáticos, que ensinava como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos, quase sempre ligados a relações geométricas.
Embora os babilônios tivessem conseguido resolver muitos problemas matemáticos envolvendo equações quadráticas, cada problema era resolvido para aquele caso particular e sua solução era uma espécie de receita prática, que não especificava nem a sua fórmula geral (se houvesse), nem o modo como a solução tinha sido obtida. Embora essas "receitas" , quando aplicadas a problemas do segundo grau, conduzissem de forma natural à dedução da fórmula de Bhaskara, os antigos babilônios não chegaram a generalizar tais "receitas".
Na Grécia, uma equação de segundo grau era resolvida por meio de construções geométricas - método geométrico utilizado por Euclides (Séc. III a.C.) - para achar a solução da equação x² = s² - sx.
No princípio do século IX, o matemático árabe Al-Kowarismi, influenciado pela álgebra geométrica dos gregos, resolveu, metodicamente, as equações do segundo grau, chegando à fórmula do modo descrito a seguir (MATEMATICA-NA-VEIA, 2009). 
                                                
                                                         

Al-Khwarismi interpretava, geometricamente, o lado esquerdo da equação x² + px = q como sendo uma cruz constituída por um quadrado de lado x e por quatro retângulos de lados p/4 e x. Então, como mostra a figura acima, "completava" esta cruz com os quatros quadrados pontilhados de lado p/4, para obter um "quadrado perfeito" de lado x + p/2.
Usando este artifício geométrico, Al-Kowarismi demonstrou que adicionando-se 4 vezes p²/16 , soma das áreas dos quatro quadrados de lado p/4 , ao lado esquerdo da equação x² + px = q, obtinha-se (x + p/2)², que é a área do quadrado de lado x + p/2 , isto é, x² + px + 4 p²/16 = (x + p/2)² .
Portanto, a equação x² + px = q poderia ser escrita como (x + p/2)² = q + p²/4 implicando que x = -p/2 ± , que é a fórmula de Bhaskara.
Chama-se de regra uma descrição por extenso dos procedimentos para resolver um problema, por exemplo uma equação. Na época de Bhaskara essas regras, tipicamente, tinham a forma de poesias que iam descrevendo as operações a realizar para resolver o problema. A partir de Aryabhata 500 d.C., e possivelmente muito antes, os indianos já usavam várias regras para resolver equações do segundo grau.
Para resolver as equações quadráticas da forma ax² + bx = c, os indianos usavam a seguinte regra:
           
“Multiplique ambos os membros da equação pelo número que vale quatro vezes o coeficiente do quadrado e some a eles um número igual ao quadrado do coeficiente original da incógnita. A solução desejada é a raiz quadrada disso.”

Bhaskara conhecia a regra citada acima, porém, a regra não foi descoberta por ele. A regra já era do conhecimento, pelo menos, do matemático Sridara, que viveu mais de 100 anos antes de Bhaskara (EVES, 2002; BROWN.EDU, 2009; MALHATLANTICA, 2009; SOMATEMATICA, 2009).

A fórmula de Bhaskara, utilizada para determinar as raízes de uma equação quadrática (ou de segundo grau) tal como se conhece hoje, é:
                                                        
É importante observar que a falta de uma notação algébrica, bem como o uso de métodos geométricos para deduzir as regras, faziam os matemáticos da Era das Regras terem de usar varias regras para resolver equações do segundo grau. Por exemplo, precisavam de regras diferentes para resolver x² = px + q e x² + px = q. Foi só na Era das Fórmulas que iniciaram as tentativas de dar um procedimento único para resolver todas as equações de um dado grau (MATEMATICA-NA-VEIA, 2009).
Até o fim do Séc. XVI não se usava uma fórmula para obter as raízes de uma equação do 2º grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação. Isso só começou a ser feito a partir da François Viéte, matemático francês que viveu de 1540 a 1603 (SOMATEMÁTICA, 2009). Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação de 2º grau.

CONCLUSÃO
Qualquer estudante sabe o que é a fórmula de Bhaskara, mas poucos sabem que esta fórmula para resolução das equações quadráticas nada tem a ver com o famoso matemático. Bhaskara, assim como todos os matemáticos até então, não sabia o que era uma fórmula matemática. Isto só passou a existir cerca 400 anos depois da morte dele. Até o final do século XVI não se representavam através de letras os coeficientes de uma equação. Na época de Bhaskara, as equações eram resolvidas com regras e não com fórmulas.
É evidente, e todos concordam, que Bhaskara conhecia as regras para resolver equações quadráticas, mas elas já eram conhecidas do matemático Sridara, mais de 100 anos antes.

Referência do texto: http://professor-marciosantos.blogspot.com.br/2009/06/formula-de-baskhara-historia-da.html

                                                          
                                                                   Desafio! 

Referência: SARESP 2011- H19- GIII

-Em um porta-retratos, a região retangular A, destinada à colocação da foto, é contornada por uma moldura de vidro fosco, que aparece sombreada na figura.                                                    
                                             

Sabendo que a moldura possui 132cm², pode-se concluir que a medida indicada por X, na figura, é igual a

(A)12cm.                               (B)14cm.                 (C)16cm.                         (D)18cm.

Etapa 2: Levantamento de conhecimentos prévios através de questionamentos: 
-O que você entendeu do problema?                                             

-Como você resolveria esse problema?
-Como se calcula a área total desta figura?
-Como poderíamos calcular a área destinada à colocação da foto?
-Como podemos relacionar a fórmula de Bhaskara com a atividade proposta?

Etapa 3: Desenvolvimento Metodológico                                          

A principal habilidade que se espera que o aluno tenha desenvolvido para resolver este problema é a de traduzi-lo para a linguagem matemática.

Área _{região retangular} – área _{local para foto} = área _moldura   
X² + 4X                 – 60                       = 132     
X²+4X-192=0

-A fórmula de Bhaskara, utilizada para determinar as raízes de uma equação quadrática (ou de segundo grau) tal como se conhece hoje, é:    
                                                       

-Como  X²+4X-192=0  é uma equação do 2º grau podemos aplicar a fórmula de Bhaskara.
 

X´= - 16(a raiz negativa foi desprezada por se tratar de uma medida de comprimento)  e  

X”=12                                                                                                                                                     

Exercício (H19-GIII) - Para diminuir os custos na construção de um curral, Solange resolveu diminuir igualmente as dimensões de seu projeto. No original, o curral possuía as seguintes dimensões: 12m X 20m e será re-projetado para que sua nova área seja de 128m2. Quais deverão ser as novas dimensões (em metros) do curral de Solange? 

 Avaliação e recuperação: Será de forma contínua, acompanhando o desenvolvimento pessoal e coletivo da turma na resolução das atividades propostas, individualmente e em grupo. É desejável que os alunos tenham compreendido, além dos processos de resolução, o movimento conceitual de resolução desses tipos de equações.