Este plano de aula é resultado da atividade proposta no
módulo 3 do curso de formação de professores, com objetivo da melhoria da
educação do Estado de São Paulo. O plano é resultado de estudos, foi elaborado
pelos integrantes do grupo 1 e validado pelo tutor Luis Paulo Martins.
Pressupõe-se neste momento da aprendizagem que o aluno já saiba resolver equações do primeiro grau, raiz quadrada, fatoração, e divisão na forma de fração, bem como operações com números inteiros. Então, dar se á o novo conteúdo (equação do segundo grau) e uma prévia retomada às áreas de polígonos regulares, que conduzem a uma equação do segundo grau. Utilizando se da conhecida fórmula de Bhaskara.
Sequência didática
Pressupõe-se neste momento da aprendizagem que o aluno já saiba resolver equações do primeiro grau, raiz quadrada, fatoração, e divisão na forma de fração, bem como operações com números inteiros. Então, dar se á o novo conteúdo (equação do segundo grau) e uma prévia retomada às áreas de polígonos regulares, que conduzem a uma equação do segundo grau. Utilizando se da conhecida fórmula de Bhaskara.
Sequência didática
Série: 9º ano
Tema: Números
Conteúdo: Resolução de problemas em que envolvam equação do 2º grau.
Justificativa: É importante que os alunos tenham
contato com a história da matemática e adquira, interesse pela leitura. A
equação do 2º grau é um conteúdo muito importante, pois podemos relacionar seu
aspecto histórico com o cotidiano dos alunos.
Objetivos: Aplicar a fórmula de Bhaskara;
utilizar a linguagem algébrica para exprimir a área e o perímetro de uma figura
plana; capacidade de interpretar enunciados; transpor ideias relacionadas à
álgebra para a geometria; generalização e organização de dados a partir de
certa propriedade.
Tempo previsto: 2 semanas
Recursos: giz; lousa; data show (para apresentar à narrativa) e lista de exercícios.
Tempo previsto: 2 semanas
Recursos: giz; lousa; data show (para apresentar à narrativa) e lista de exercícios.
Procedimentos: Para a introdução desse tema é sugerido à leitura e interpretação do texto (Bhaskara e a “Fórmula de Bhaskara”). Depois, serão sugeridos, inicialmente, problemas que podem ser “traduzidos” por meio de equações de 2º grau, passando-se a discutir alguns modos possíveis de resolvê-las. Antes de introduzir qualquer técnica para a resolução de equação de 2º grau, é importante que os alunos utilizem seus conhecimentos já construídos para encontrar as raízes da equação ou solucionar o problema em questão. Como alguns problemas poderão ficar em aberto, esse é o momento propício para iniciar o trabalho com as técnicas de resolução. Todavia, sugere-se a discussão de diversos procedimentos e métodos para resolver equações de 2º grau, antes do desenvolvimento da fórmula de Bhaskara.
Material que será utilizado em cada etapa.
Etapa 1: Problematização/Contextualização
Uma das grandes influências da matemática indiana no ocidente é através do matemático Bhaskara de Acharya (ou Bhaskara II, ou Báscara, ou Bhascar), nascido em 1114, cujo nome evoca a solução de equações algébricas do segundo grau, e que foi também um importante astrônomo. Seu tratado de álgebra foi base para a álgebra da Europa alguns séculos depois.
Bhaskara nasceu em uma tradicional família de astrólogos indianos, seguiu a tradição profissional da família, porém com uma orientação científica, dedicando-se mais à parte matemática e astronômica (tais como o cálculo do dia e hora, da ocorrência de eclipses ou das posições e conjunções dos planetas) que dá sustentação à Astrologia.
Seus méritos foram logo reconhecidos e muito cedo atingiu o posto de diretor do Observatório de Ujjain, o maior centro de pesquisas matemáticas e astronômicas da India, na época.
Como matemático, Bhaskara preencheu as lacunas do trabalho de Brahmagupta. É dele a primeira resposta plausível para a divisão por zero. Em seu trabalho “Vija-Ganita” ele afirma que tal quociente é infinito (SOMATEMÁTICA. 2009).
Bhaskara escreveu o tratado Siddhanta Siromani, aos 36 anos, em 1150. O seu manuscrito está dividido em quarto partes – Lilavati (A Bela) sobre aritmética; Bijaganita sobre álgebra, Goladhyaya sobre a esfera, ou seja sobre o globo celeste, e Grahaganita sobre a matemática dos planetas.
Sua obra foi usada em toda a Índia, tendo substituído a maior parte dos textos que eram utilizados até então, como o do astrônomo indiano Lalla (720-790), mas só ultrapassou as fronteiras da Índia no século XVI, quando foi traduzido para o persa por Faizi (1587). Foi este tradutor que introduziu a história de que Lilavati era o nome da filha de Bhaskara. De acordo com uma dessas histórias, citada em Matematica-na-veia (2009), Bhaskara (que também era astrólogo) tinha previsto o dia e a hora propícia para o casamento da sua filha. Para saber a hora exata tinha construído um relógio, colocando um copo com um pequeno orifício, por onde entrava água, numa vasilha cheia de água. Quando chegasse a hora exata do casamento o copo iria se afundar. Entretanto, Lilavati, cheia de curiosidade, inclinou-se sobre a vasilha e uma pérola do seu vestido caiu no copo e bloqueou o orifício. A hora do casamento passou sem que o copo se afundasse. Lilavati nunca se casou. Para consolar a sua filha, Bhaskara prometeu escrever um livro de matemática e homenageá-la dando-lhe o seu nome.
Embora fantasiosa, a história tornou-se lenda contada de maneiras diferentes por vários autores, e serviu para tornar mais famoso o admirável matemático.
Lilavati, escrita em 278 versos, representa a culminação de contribuições hindus anteriores a ela. Apresenta tópicos sobre equações lineares e quadráticas, determinadas e indeterminadas, mensuração, progressões aritméticas e geométricas, radicais, tríadas pitagóricas, entre outras.
Mas, e a fórmula de Bhaskara?
A fórmula de Bhaskara é utilizada para determinar as raízes de uma equação quadrática (de 2º grau). Na literatura internacional não se dá o nome de Bhaskara para esta fórmula; aparentemente, isto se dá apenas no Brasil.
Como precedentes da fórmula de Bhaskara, as referências mais antigas sobre a resolução de problemas do 2º grau foram encontradas em textos babilônicos, escritos há cerca de 4000 anos, em tábuas cuneiformes. Nesses textos, o que se tinha era uma receita, escrita em prosa, sem uso de símbolos matemáticos, que ensinava como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos, quase sempre ligados a relações geométricas.
Embora os babilônios tivessem conseguido resolver muitos problemas matemáticos envolvendo equações quadráticas, cada problema era resolvido para aquele caso particular e sua solução era uma espécie de receita prática, que não especificava nem a sua fórmula geral (se houvesse), nem o modo como a solução tinha sido obtida. Embora essas "receitas" , quando aplicadas a problemas do segundo grau, conduzissem de forma natural à dedução da fórmula de Bhaskara, os antigos babilônios não chegaram a generalizar tais "receitas".
Na Grécia, uma equação de segundo grau era resolvida por meio de construções geométricas - método geométrico utilizado por Euclides (Séc. III a.C.) - para achar a solução da equação x2 = s2 - sx.
No princípio do século IX, o matemático árabe Al-Kowarismi, influenciado pela álgebra geométrica dos gregos, resolveu, metodicamente, as equações do segundo grau, chegando à fórmula do modo descrito a seguir (MATEMATICA-NA-VEIA, 2009).
Usando este artifício geométrico, Al-Kowarismi demonstrou que adicionando-se 4 vezes p2/16 , soma das áreas dos quatro quadrados de lado p/4 , ao lado esquerdo da equação x2 + px = q, obtinha-se (x + p/2)2, que é a área do quadrado de lado x + p/2 , isto é, x2 + px + 4 p2/16 = (x + p/2)2 .
Portanto, a equação x2 + px = q poderia ser escrita como (x + p/2)2 = q + p2/4 implicando que x = -p/2 ± , que é a fórmula de Bhaskara.
Chama-se de regra uma descrição por extenso dos procedimentos para resolver um problema, por exemplo uma equação. Na época de Bhaskara essas regras, tipicamente, tinham a forma de poesias que iam descrevendo as operações a realizar para resolver o problema. A partir de Aryabhata 500 d.C., e possivelmente muito antes, os indianos já usavam várias regras para resolver equações do segundo grau.
Para resolver as equações quadráticas da forma ax2 + bx = c, os indianos usavam a seguinte regra:
“Multiplique ambos os membros da equação pelo número que vale quatro vezes o coeficiente do quadrado e some a eles um número igual ao quadrado do coeficiente original da incógnita. A solução desejada é a raiz quadrada disso.”
Bhaskara conhecia a regra citada acima, porém, a regra não foi descoberta por ele. A regra já era do conhecimento, pelo menos, do matemático Sridara, que viveu mais de 100 anos antes de Bhaskara (EVES, 2002; BROWN.EDU, 2009; MALHATLANTICA, 2009; SOMATEMATICA, 2009).
A fórmula de Bhaskara, utilizada para determinar as raízes de uma equação quadrática (ou de segundo grau) tal como se conhece hoje, é:
É importante observar que a falta de uma notação algébrica, bem como o uso de métodos geométricos para deduzir as regras, faziam os matemáticos da Era das Regras terem de usar varias regras para resolver equações do segundo grau. Por exemplo, precisavam de regras diferentes para resolver x2 = px + q e x2 + px = q. Foi só na Era das Fórmulas que iniciaram as tentativas de dar um procedimento único para resolver todas as equações de um dado grau (MATEMATICA-NA-VEIA, 2009).
Até o fim do Séc. XVI não se usava uma fórmula para obter as raízes de uma equação do 2º grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação. Isso só começou a ser feito a partir da François Viéte, matemático francês que viveu de 1540 a 1603 (SOMATEMÁTICA, 2009). Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação de 2º grau.
CONCLUSÃO
Qualquer estudante sabe o que é a fórmula de Bhaskara, mas poucos sabem que esta fórmula para resolução das equações quadráticas nada tem a ver com o famoso matemático. Bhaskara, assim como todos os matemáticos até então, não sabia o que era uma fórmula matemática. Isto só passou a existir cerca 400 anos depois da morte dele. Até o final do século XVI não se representavam através de letras os coeficientes de uma equação. Na época de Bhaskara, as equações eram resolvidas com regras e não com fórmulas.
É evidente, e todos concordam, que Bhaskara conhecia as regras para resolver equações quadráticas, mas elas já eram conhecidas do matemático Sridara, mais de 100 anos antes.
Referência do texto:
http://professor-marciosantos.blogspot.com.br/2009/06/formula-de-baskhara-historia-da.html
Desafio!
-Em um porta-retratos, a região retangular A, destinada à colocação da foto, é contornada por uma moldura de vidro fosco, que aparece sombreada na figura.
Sabendo
que a moldura possui 132cm2, pode-se concluir que a medida indicada
por X, na figura, é igual a
(A)12cm. (B)14cm. (C)16cm. (D)18cm.
Etapa 2: Levantamento de
conhecimentos prévios através de questionamentos:
-O que você entendeu do problema?
-O que você entendeu do problema?
-Como você resolveria esse problema?
-Como se calcula a área total desta figura?
-Como poderíamos calcular a área destinada à colocação da foto?
-Como podemos relacionar a fórmula de Bhaskara com a atividade proposta?
-Como se calcula a área total desta figura?
-Como poderíamos calcular a área destinada à colocação da foto?
-Como podemos relacionar a fórmula de Bhaskara com a atividade proposta?
Etapa 3: Desenvolvimento Metodológico
A
principal habilidade que se espera que o aluno tenha desenvolvido para resolver
este problema é a de traduzi-lo para a linguagem matemática.
Área região retangular – área local
para foto = área moldura X2 + 4X – 60 = 132
X2+4X-192=0
-A
fórmula de Bhaskara, utilizada para determinar as raízes de uma equação
quadrática (ou de segundo grau) tal como se conhece hoje, é:
-Como X2+4X-192=0 é uma equação do 2º grau podemos aplicar a
fórmula de Bhaskara.
X´= - 16(a raiz negativa foi desprezada por se tratar de uma
medida de comprimento) e
X”=12
Exercício (H19-GIII) - Para diminuir os custos na
construção de um curral, Solange resolveu diminuir igualmente as dimensões de
seu projeto. No original, o curral possuía as seguintes dimensões: 12m X 20m e
será re-projetado para que sua nova área seja de 128m2. Quais deverão ser as
novas dimensões (em metros) do curral de Solange?
fdpfpdddodpdfisrgsgfsldfçsdfsadsafsf
ResponderExcluirque demencia
Excluirque demencia
Excluirfdpfpdddodpdfisrgsgfsldfçsdfsadsafsf
ResponderExcluir